Échantillonnage, Loi binomiale et Zététique
Remarque : Une version plus ancienne de cet article est disponible.
Ce document s'adresse à des professeurs de mathématiques de lycée, afin qu'il soit enrichi et réutilisé dans leurs classes. Il décrit une séquence faite avec une classe de première S, utilisant la zététique comme support pour aborder les notions de répétition d'expériences aléatoires, de loi binomiale, et d'échantillonnage. Les mêmes notions étant également au programme de première ES et L, il doit être possible de l'adapter pour ces classes.
Téléchargement
- Énoncé (source)
- Feuille de calcul obtenue par les élèves à la fin de l'activité sur ordinateur.
Objectifs
Mathématiques
- Cette séquence a constitué la majeure partie du chapitre sur la loi binomiale (répétition d'expériences aléatoires, épreuve et schéma de Bernoulli, loi binomiale, échantillonnage).
- Elle permet, comme le demande le programme, du travail en salle informatique, exploitant le tableur au service de la recherche mathématique.
Zététique
Cette séance vise à montrer comment les outils mathématiques vus en classe de première (en particulier l'échantillonnage) permettent de porter un regard critique sur la société qui nous entoure, et en particulier sur les pseudo-sciences.
- Cet objectif s'inscrit également dans le cadre du programme officiel, en participant à « donner à chaque élève la culture mathématique indispensable pour sa vie de citoyen ».
- Cet activité permet également de poursuivre le développement de la compétence du socle commun : « L'appréhension rationnelle des choses développe les attitudes suivantes : […] l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte […]. »
Contexte
Professionnel
C'est la deuxième fois que je propose cette activité, et la première fois que je la développe sur toute une séquence (la précédente version ne prenait qu'à peine plus d'une séance). Si elle a déjà profité de quelques améliorations, elle est évidemment grandement perfectible (voir la partie Évaluation).
Zététique
Je n'avais jamais abordé ce type de sujet, et ils n'avaient (à ma connaissance) jamais fait ou entendu parler de zététique.
Séances
La première partie de la séquence (j'ai perdu le fil précis) s'est déroulée en demi-groupe. J'ai commencé par demander à mes élèves de prouver que le Père-Noël n'existe pas, ce qui est impossible, et permet d'introduire que La charge de la preuve incombe à celui ou celle qui affirme. Cela permet de justifier l'ensemble de l'activité : si nous voulons étudier si un prétendu voyant a ou non le pouvoir de prédire des tremblements de terre, ce que nous devons faire, ce n'est pas prouver qu'il a tort, mais étudier s'il apporte la preuve de ses pouvoirs.
Je conseille de lire l'énoncé (donné en début d'article) en parallèle de cette partie.
Partie 1 : Expérience élémentaire
La première partie consiste simplement en un calcul de probabilités de secondes.
Partie 2 : Répétition d'expérience
La seconde partie traite de la répétition d'expériences. L'étude de la répétition de trois expériences peut se faire à la main (avec un arbre à huit branches) ; celle de la répétition de quatre expériences peut encore se faire à la main, mais commencer à réfléchir un peu à ce qui se passe devient intéressant. Cent-soixante-neuf répétitions ne s'étudient pas avec un arbre : il est nécessaire de généraliser les résultats des questions précédentes.
C'est anecdotique pour l'activité, mais un des calculs met en œuvre des nombres trop grands pour la calculatrice des élèves : c'est l'occasion de leur faire prendre conscience des limites de leurs calculatrices (si ce n'est pas déjà le cas), et l'existence d'autres outils (logiciels de calcul formel, ou simplement une calculatrice sur un ordinateur).
En bilan de cette partie, est écrit dans les cahier des élèves le cours sur les épreuve et schéma de Bernoulli, et la loi binomiale.
Partie 3 : Coefficient binomial
Le but de cette partie est de faire découvrir aux élèves les formules de manipulation des coefficients binomiaux.
Partie 4 : Échantillonnage
Cette séance a eu lieu en demi-groupes, en salle informatique. Les élèves travaillaient à deux sur un poste, et ont suivi l'énoncé, en prenant des notes dans leur cahier d'exercices. Elle a permis d'aboutir à une prise de décision concernant les pouvoirs de notre voyant.
Évaluation
Cette activité est très adaptée aux deux objectifs (mathématiques et zététique). Malheureusement, il est souvent difficile de proposer du contenu non strictement mathématique par manque de temps. Ces séances, en revanche, utilisent la zététique au service des notions mathématiques du programme, et l'aspect esprit critique ne constitue pas une « perte de temps » par rapport au reste du programme.
Les élèves ont assez peu réagi au caractère zététique du travail effectué, et je ne suis pas sûr que les notions correspondantes aient été acquises : le contenu mathématique abordé était assez dense, donc il devait rester assez peu de disponibilité d'esprit pour des éléments qui peuvent paraître secondaires aux yeux des élèves. De plus, cette séquence est très guidée et laisse peu de liberté, donc les élèves peuvent répondre question après question sans s'intéresser au sens global de l'exercice.
En revanche, j'ai vu des élèves plutôt en difficulté rentrer dans l'exercice et proposer des réponses (correctes) à des parties plutôt techniques, ce qui est positif.
Section 2.3 : Les réponses aux questions 4 et 5 n'ont pas été comprises, mais je veux bien croire qu'elles étaient mal posées. Le but était de porter un regard critique sur une probabilité, qui n'a pas de sens de manière absolue (dans certains cas, une chance sur cent, c'est très peu (probabilité d'obtenir pile sur une pièce que l'on pensait équilibrée), mais dans d'autres, c'est beaucoup (probabilité qu'un nouveau né souffre de trisomie 21)). Cette question est à retravailler.
Section 3 : L'ensemble de la partie est à mon avis trop technique, ou arrive trop tôt après l'introduction de la notion de coefficient binomial (le cadre — utilisation exceptionnelle d'une salle plus bruyante que d'habitude, et plus profonde — n'a pas aidé).
Sources
- Le problème de départ, et les données numériques, sont tirées du livre Devenez sorciers, devenez savants, de Georges Charpak et Henri Broch, éditions Odile Jacob, 2002.
- Pour écrire l'activité en elle-même, je me suis inspiré d'une activité similaire proposée par David Robert dans son cours de premières S sur la loi binomiale.