Syringe, de Peter Stenzel, publié sous licence Creative Commons by-nd 2.0.

Probabilités, Vaccination, et Hospitalisation

probabilités première générale COVID19

Les connaissances de probabilités conditionnelles de première générales sont suffisantes pour expliquer le paradoxe (apparent) suivant : alors même que le vaccin contre le COVID-19 est efficace, l'hôpital accueille pour des cas de COVID-19 plus de personnes vaccinées que de non vaccinées. Une explication détaillée est donnée par exemple par Nicolas Berrod du Parisien, mais cela constitue une situation-problème intéressante pour nos lycéens, à adapter à votre usage.

Un pays fait face à une épidémie, pour laquelle un vaccin a finalement été développé. Mais de nombreuses personnes contestent son efficacité en relevant que, parmi les personnes hospitalisées pour cette maladie, près d'une sur deux a pourtant été vaccinée.

On prend une personne au hasard dans la population, et on considère les évènements suivants :

  • $H$ : la personne est hospitalisée à causse de la maladie.
  • $V$ : la personne est vaccinée.

En utilisant des statistiques des hôpitaux, et celles des centres de vaccination, on sait que, à une certaine date :

  • 3 % de la population est actuellement à l'hôpital à cause de cette maladie ;
  • 84 % de la population est vaccinée ;
  • parmi les personnes hospitalisées des suites de la maladie, 52% sont vaccinées.

  1. Recopier et compléter autant que possible l'arbre de probabilités ci-dessous. Attention : deux probabilités sont inconnues, et ne pourront pas être renseignées.

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  2. Calcul de $P_{V}(H)$.

    1. Décrire par une phrase l'évènement $H\cap V$, et calculer sa probabilité.
    2. Exprimer par une phrase la probabilité $P_{V}(H)$, et calculer sa valeur.

  3. Calcul de $P_{\overline{V}}(H)$.

    1. Calculer $P(H\cap\overline{V})$ et $P(\overline{V})$.
    2. En déduire la valeur de $P_{\overline{V}}(H)$.

  4. Peut-on affirmer que le vaccin n'a aucun effet sur l'hospitalisation ?

Pour celles et ceux n'ayant pas le courage de faire les calculs, la réponse à la dernière question est : « Nous avons calculé que la probabilité d'être hospitalisée est presque cinq fois plus élevée pour une personne non vaccinée que pour une personne vaccinée : le vaccin est donc efficace. ».