Racines d'un trinôme

La démonstration habituelle pour « extraire » les racines d'un trinôme est de le mettre sous la forme canonique, en commençant par diviser les deux membres de l'égalité par $a$.

\[\begin{align*} ax^2+bx+c&=0\\ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}&=0\\ x^2+2\times x\times\frac{b}{2a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}&=0\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{4ac}{4a^2}&=0\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}&=0\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}&=0\\ \end{align*}\]

Cette démonstration fonctionne, mais elle a deux inconvénients :

• elle nécessite l'utilisation de fractions (et de carrés de fractions, de mise au même dénominateur, etc.) ;
• il faut justifier pourquoi étudier le signe de $\Delta$ (plutôt que $\frac{\Delta}{4a^2}$) suffit.

J'ai découvert un peu au hasard sur Mathematics Educators (je n'ai malheureusement pas noté la page exacte) une astuce qui permet de contourner ces deux inconvénients, et qui rend la démonstration bien plus digeste pour nos élèves de première générale : commencer par multiplier les deux membres de l'égalité par $4a$.

\[\begin{align*} ax^2+bx+c&=0\\ 4a\times\left(ax^2+bx+c\right)&=4a\times0\\ 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\ \left(2ax\right)^2+2\times2ax\times b+b^2-b^2+4ac&=0\\ \left(2ax+b\right)^2-b^2+4ac&=0\\ \left(2ax+b\right)^2-(b^2-4ac)&=0\\ \left(2ax+b\right)^2-\Delta&=0 \end{align*}\]

Grâce à cette astuce, il n'y a plus aucune fraction (ce qui facilite les calculs), et le discriminant est encore plus mis en valeur à la dernière étape. Le seul désavantage que j'y vois est que la forme obtenue à la fin n'est pas la forme canonique, mais cette forme n'est pas strictement nécessaire à la résolution de l'équation.

J'ai pu observer que peu de collègues connaissent cette astuce ; j'espère contribuer à la répandre. 😃