Lors d'un séjour à Royan, j'ai pu observer que le phare de Cordouan offrait une belle illustration de la courbure de la Terre. En effet, depuis une plage de Royan, la base du phare est cachée (ce qui ne serait pas le cas si la Terre était plate : on verrait le phare plus petit, mais entier), mais plus on s'élève, plus cette base se révèle. Ceci est visible sur les trois photos suivantes, prises presque à la même distance, mais à des altitudes différentes (respectivement 12,5 m, 1,8 m et 40 cm) : sur la première, l'intégralité du phare est visible ; sur la seconde, la base est partiellement cachée par l'horizon ; et sur la troisième, elle est totalement cachée derrière l'horizon.
Je me suis amusé à calculer quelle hauteur du phare est cachée, selon la distance de l'observateur au phare, et selon l'altitude par rapport au niveau de la mer.
Calcul théorique de la distance de l'horizon, et de la hauteur du phare cachée par ce même horizon
La situation est représentée par le schéma ci-dessus, avec les points et longueurs suivants :
- $O$ est le centre de la Terre ;
- $A$ et $A'$ représentent l'observateur, au niveau de la Terre ($A$) ou de ses yeux ($A'$) ;
- $B$ et $B'$ représentent le phare, au niveau de la Terre ($B$) ou de la plus basse partie du phare visible par l'observateur($B'$) ;
- $H$ est l'horizon (le point le plus éloigné visible par l'observateur).
Il y a deux constantes :
- $r$ est le rayon de la Terre (assimilée ici à une sphère de 6371 km de rayon) ;
- $c$ est la circonférence de la Terre (c'est-à-dire $2\pi r$).
Il y a deux paramètres :
- $a$ est l'altitude de l'observateur (qui varie selon qu'il est accroupi, debout, au bord de la mer, sur une colline…) ;
- $p$ est la distance du phare (c'est-à-dire la longueur de l'arc de cercle de l'observateur jusqu'au phare).
Et il y a plusieurs inconnues :
- $h$ est la distance de l'horizon (c'est-à-dire la longueur de l'arc de cercle de l'observateur jusqu'à l'horizon) ;
- $b$ est la hauteur du phare cachée par l'horizon ;
- $\alpha$ et $\beta$ sont les angles (depuis le centre de la Terre) entre l'observateur et l'horizon d'une part, et l'horizon et le phare d'autre part.
On notera que sauf mention contraire :
- tous les angles sont donnés en radians ;
- toutes les longueurs sont données en mètres.
Calcul de la distance de l'horizon
La première question à se poser est : le phare est-il au delà de l'horizon ? Pour cela, il faut calculer $h$.
Le triangle $OA'H$ est rectangle en $H$, donc on peut utiliser la trigonométrie pour calculer l'angle $\alpha$ :
$$ \begin{array}{rcl} \cos\alpha&=&\frac{OH}{OA'}\\ \cos\alpha&=&\frac{r}{r+a}\\ \alpha&=&\acos{\paren{\frac{r}{r+a}}}\\ \end{array} $$
Et maintenant que l'angle $\alpha$ est connu, avec un peu de proportionnalité, on peut en déduire la longueur de l'arc de cercle $\overparen{AH}$ (en rappelant que $c$ est la circonférence de la Terre) :
$$\begin{array}{r|l|l} \text{Angle} & 2\pi & \alpha \\ \hline \text{Longueur} & c & \overparen{AH} \\ \end{array}$$
Donc la longueur de l'arc $\overparen{AH}$ est donné par la formule $\frac{\alpha}{2\pi}c$, c'est-à-dire :
$$\overparen{AH}=\frac{\alpha}{2\pi}2\pi r=\alpha r=\acos{\paren{\frac{r}{r+a}}}r$$
Calcul de l'altitude du phare cachée sous l'horizon
Pour calculer $b$, il suffit d'utiliser la trigonométrie dans le triangle $OHB'$, rectangle en $H$. Mais avant cela, il faut connaître l'angle $\beta$.
Calcul de $\beta$
La longueur d'arc $\overparen{AB}$ est la distance de l'observateur au phare, connue, donc nous pouvons refaire notre tableau de proportionnalité.
$$\begin{array}{r|l|l} \text{Angle} & 2\pi & \alpha+\beta \\ \hline \text{Longueur} & c & \overparen{AB} \\ \end{array}$$
Et donc $\alpha+\beta = \frac{2\pi\overparen{AB}}{c}=\frac{2\pi p}{2\pi r}=\frac{p}{r}$, et $\beta=\frac{p}{r}-\alpha$, et enfin, en reprenant la valeur de $\alpha$ calculée précédemment :
$$\beta=\frac{p}{r}-\acos{\paren{\frac{r}{r+a}}}$$
Calcul de $b$
Le triangle $OHB'$ étant rectangle en $H$, on a :
$$\begin{array}{rcl} \cos\beta&=&\frac{OH}{OB'}\\ OB'&=&\frac{OH}{\cos\beta}\\ OB+BB'&=&\frac{r}{\cos\beta}\\ BB'&=&\frac{r}{\cos\beta}-OB\\ b&=&\frac{r}{\cos\beta}-r\\ \end{array}$$
Enfin, en reprenant la valeur de $\beta$ calculée plus haut, on obtient :
$$b=\frac{r}{\cos\paren{\frac{p}{r}-\acos\paren{\frac{r}{r+a}}}}-r$$
Application
Nous utilisons les formules calculées précédemment, à savoir :
- distance de l'horizon : $h=\acos{\paren{\frac{r}{r+a}}}r$ ;
- hauteur du phare cachée par l'horizon : $b=\frac{r}{\cos\paren{\frac{p}{r}-\acos\paren{\frac{r}{r+a}}}}-r$ ;
avec un rayon de la Terre de 6371 km, c'est-à-dire 6 371 000 m.
Reprenons les trois photos de départ :
La première a été prise un peu au dessus de la plage, à une distance du phare de 10,87 km, et une altitude de 12,5 mètres environ.
Les deux suivantes ont été prises sur la plage (à marée basse), à une distance du phare de 10,74 km, et à des altitudes respectives de 1,8 m et 40 cm environ.
Cela donne :
| Photo | Distance du phare (km) | Altitude (m) | Distance de l'horizon (km) | Hauteur cachée (m) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10,87 | 12,5 | 12,62 | 0 |
| 2 | 10,74 | 1,8 | 4,79 | 2,8 |
| 3 | 10,74 | 0,4 | 2,26 | 5,6 |
Le phare mesure 67,5 m de haut ; je ne connais pas la hauteur de la base, mais mes calculs semblent cohérent avec cela :
- sur la première photo, l'horizon est au-delà du phare, et la totalité du phare est visible (y compris le banc de sable à marée basse) ;
- sur la seconde photo, environ 3 m sont cachés, donc seul le sommet de la base est visible ;
- sur la dernière photo, presque 6 m sont cachés, donc la base est complètement cachée.
Conclusion
C'était totalement inutile, mais c'est toujours amusant de voir que nos calculs sont conformes à la réalités, et illustrent de manière parlante un phénomène physique connu.