Échantillonnage et Zététique en seconde

J'introduis depuis plusieurs année la notion d'échantillonnage en seconde en utilisant une expérience fictive d'un sourcier cherchant à prouver son pouvoir. À la suite d'un stage animé par le CorteX, j'ai ajouté davantage d'esprit critique à cette séance.

Téléchargements

Voici les fichiers utilisés pour cette séance :

Objectifs

Mathématiques

Cette séance introduit la partie du programme de seconde générale (jusqu'en 2018—2019) qui concerne l'échantillonnage, comme par exemple : « Exploiter et faire une analyse critique d’un résultat d’échantillonnage. »

En revanche, si l'échantillonnage est toujours dans le nouveau programme, la notion d'intervalle de fluctuation semble avoir disparu, donc cette séance devra être adaptée à partir de l'année scolaire 2019—2020.

Zététique

Cette séance vise à montrer comment l'échantillonnage permet de porter un regard critique sur la société qui nous entoure, et en particulier sur les pseudo-sciences. Elle introduit les maximes « Des affirmations extraordinaires réclament des preuves plus qu’ordinaires » et « La charge de la preuve est à celui ou celle qui affirme. »

  • Cet objectif s'inscrit également dans le cadre du programme officiel (jusqu'à la réforme du bac 2021), en participant à « donner à chaque élève la culture mathématique indispensable pour sa vie de citoyen ».
  • Cet activité permet également de poursuivre le développement de la compétence du socle commun : « L'appréhension rationnelle des choses développe les attitudes suivantes : […] l'esprit critique : distinction entre le prouvé, le probable ou l'incertain, la prédiction et la prévision, situation d'un résultat ou d'une information dans son contexte […]. »

Contexte

Mathématiques

Cette séance a eu lieu fin décembre, à la fin du chapitre sur les statistiques. Les élèves avaient donc vu (avec moi la semaine précédente, ou au collège) des notions de statistiques descriptives (moyenne, médiane, quartiles, représentations graphiques). L'échantillonnage, en revanche, était nouveau pour eux.

Ils n'avaient quasiment pas utilisé de calculatrice scientifique.

Zététique

Je n'avais jamais abordé ce type de sujet, et ils n'avaient (à ma connaissance) jamais fait ou entendu parler de zététique.

Déroulement

Cette activité s'est déroulée en une heure et demi (sur deux séances). Le diapoarama est utilisé comme support de la majeure partie de la séance.

La première heure a été faite en demi-groupes, et la seconde en classe entière. Il doit être tout à fait possible de faire l'ensemble en classe entière.

Père Noël et Charge de la preuve

La première diapositive du diaporama contient l'affirmation « Le Père Noël existe ». Je demande aux élèves de me prouver le contraire. Extraits de dialogues :

Élève : Ça n'est pas possible de visiter toutes les maisons du monde en une nuit. Il faudrait qu'il dépasse la vitesse de la lumière / son traineau aurait un poids démesuré / vu la vitesse nécessaire, à cause de la friction de l'air, son traineau prendrait feu / il ne peut pas livrer des cadeaux dans les maisons sans cheminées…
Prof : Le Père Noël est magique : il n'est donc pas soumis aux lois de la physique.
Élève : Mais la magie n'existe pas !
Prof : Prouvez le moi.

 

Élève : Ce sont les parents qui apportent les cadeaux.
Prof : Chez vous, peut-être, mais le Père Noël apporte leurs cadeaux aux autres enfants.

 

Élève : Si le Père Noël existait, il apporterait des cadeaux à tout le monde, or les enfants pauvres n'ont pas de cadeaux.
Prof : Le Père Noël n'aime pas les pauvres.

 

Élève : Mais la magie n'existe pas. Vous avez déjà vu une licorne ?
Prof : Vous avez déjà vu un rhinocéros ?

Tous les élèves n'ont pas participé à cet échange, mais un bon nombre a essayé d'apporter des preuve. J'ai senti la frustration des élèves, de qui je balayais toutes les tentatives de preuves, ce qui montre leur implication dans l'exercice.

Un élève a finalement remarqué que que je n'avais qu'à prouver que le Père Noël existe, réflexion que j'ai reprise, et qui m'a permis d'expliquer la maxime « La charge de la preuve est à celui ou celle qui affirme », que j'ai ensuite illustrée avec d'autres exemples (« la nuit dernière, j'ai été enlevé puis relaché par des extra-terrestres ; prouvez-moi que c'est faux » ; « Emmanuel Macron est un lézard à la solde des martiens ; prouvez-moi que c'est faux »). Je n'ai pas mentionné (et les élèves non plus) que le même raisonnement s'applique exactement de la même manière si l'on remplace le Père Noël par Dieu.

Échelle des preuves

Si c'est bien à celui qui affirme de prouver ses propos, nous n'allons pas exiger de nos interlocuteurs qu'ils prouvent chacune de leur affirmation. L'échelle de la preuve1 arrive alors à point nommé.

Cette échelle n'est pas vraiment utile pour amener la notion de fluctuation d'échantillonnage, mais elle sert à la formation citoyenne : elle explicite la citation d'Henri Poincaré : « Douter de tout ou tout croire sont deux solutions également commodes, qui nous dispensent de réfléchir. »

Sourcier

J'ai ensuite expliqué que nous utilisons la preuve en mathématiques pour démontrer plein de choses, mais jusqu'à maintenenant, dans leurs cours de mathématiques, ils ne s'en sont servi, dans la grande majorité, que pour des énoncés mathématiques. Le but de la séance est d'introduire un outil permettant de prouver des énoncés « de la vraie vie ».

J'ai ensuite introduit le cas d'étude suivant : « Une personne affirme être sourcier, c'est-à-dire avoir le pouvoir de détecter des sources d'eau. Comment faire pour confirmer ou informer son prétendu don ? » Peu à peu, l'idée de mettre le sourcier à l'épreuve a émergé, qui devrait être faite en aveugle (je n'ai pas abordé la notion de double aveugle), et enfin, nous avons convenu qu'il fallait répéter cette épreuve, pour limiter l'intervention du hasard (une version plus développée de cette démarche est décrite dans Esprit critique, es-tu là ? par le collectif CorteX).

Nous n'avons pas réalisé l'experience dans la classe, mais j'ai présenté les résultats (calculés pour être à la limite de l'intervalle de fluctuation à 95%, tel qu'étudié en seconde) : sur les 50 essais, notre sourcier a eu 30 bonnes réponses. Comment interpréter ce résultat ?

Après d'autres réflexions, nous avons convenu que la question était : une telle réussite peut-elle être attribuée au hasard, ou est-elle la preuve d'un don ? Il nous fallait donc simuler plusieurs expériences, pour voir s'il nous arrivait d'atteindre 30 réussites sur 50 essais.

Simulation

À ce moment-là, j'ai distribué cette fiche (source) aux élèves, qui constituera leur cours pour cette partie du chapitre. Il rappelle le problème (l'expérience du sourcier), et les guide pour la résolution, avant d'introduire la notion d'intervalle de fluctuation.

Chaque table d'élève a utilisé sa calculatrice pour simuler une série de 50 essais, avec une probabilité de réussite de 50%, et compilé les résultats au tableau. Manque de chance, dans un des deux groupes, nous avons du conclure, à mon grand regret, qu'autant de succès avaient vraiment peu de chances d'être attribués au hasard, et que le « sourcier » avait sans doute des dons (voir la partie Prolèmes).

Intervalle de fluctuation

La dernière phase de l'activité a pris la forme d'un cours magistral plus classique. Après avoir expliqué l'intérêt d'un tel outil (notamment par rapport aux simulations), j'ai présenté l'intervalle de fluctuation $\left[p-\frac{1}{\sqrt{n}};p+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ et son utilisation. Après l'avoir appliqué à notre sourcier, nous avons enfin conclu qu'il n'avait pas donné la preuve de ses pouvoirs.

La suite de la fiche présente en exemple le problème suivant : la proportion de femmes à l'Assemblée nationale, inférieure à la moyenne, est-elle le symptôme d'une sous-représentation des femmes à l'Assemblée nationale ?

Problèmes

  • Lorsque les élèves devaient me prouver que le Père Noël n'existe pas, je réfutais moi-même leurs arguments. Il pourrait être interréssent de leur laisser le temps de les réfuter eux-mêmes.

  • La simulation a été faite en demi-groupe. Cela pose problème, car l'échantillon n'a alors que 17 individus, ce qui est peu. La conséquence est qu'il est tout à fait possible, avec un échantillon aussi petit, de « prouver » que le sourcier a un don, ce qui est bien dommage…

  • Les calculatrices TI que j'utilisais dans mon ancien lycées génèrent toutes la même séquence aléatoire. Avec ce modèle, il faut donc initialiser le générateur aléatoire correctement, pour ne pas avoir trente fois la même simulation. Je n'ai pas rencontré ce problème avec les calculatrices Casio.


  1. Empruntée à Richard Monvoisin (Tableau 1, page 86 de sa thèse Pour une didactique de l’esprit critique, 2007.